start | schüler | mathematik | Integralrechnen

Flächenberechnung - Beispiel 3

Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion \(f(x)=3x-3\) und der x-Achse im Intervall \([-1|3]\). bild

Lösung:

Wir berechnen das Integral in den vorgegebenen Grenzen:

$$\int_{-1}^3 f(x)dx=\int_{-1}^3 3x-3 dx$$

Wir bilden die Stammfunktion von f(x):

$$F(x)=\frac{3}{2}x^2-3x$$

$$\begin{array}{lll} A_{ges} &&= &&[F(x)]_{-1}^3\\ &&= &&F(3)-F(-1)\\ &&= &&\frac{3}{2}\cdot 3^2-3\cdot3-(\frac{3}{2}\cdot (-1)^2-3\cdot (-1))\\ &&= && 13,5-9-(\frac{3}{2}+3)\\ &&= && 4,5 - 4,5\\ &&= &&0 \end{array}$$

Wir haben also nicht die Gesamtfläche berechnent, sondern den Durchschnitt.

Berechnen wir nun die Flächen einzeln und addieren anschließend die Einzelergebnisse.

$$\begin{array}{lll} A_1 &&= &&[F(x)]_{-1}^1\\ &&= &&F(1)-F(-1)\\ &&= &&\frac{3}{2}\cdot 1^2-1\cdot3-(\frac{3}{2}\cdot (-1)^2-3\cdot (-1))\\ &&= && \frac{3}{2}-3-(\frac{3}{2}+3)\\ &&= && -6\\ \end{array}$$

$$\begin{array}{lll} A_2 &&= &&[F(x)]^3_{1}\\ &&= &&F(3)-F(1)\\ &&= &&\frac{3}{2}\cdot 3^2-3\cdot3-(\frac{3}{2}\cdot 1^2-3\cdot 1)\\ &&= && 13,5-9-(\frac{3}{2}-3)\\ &&= && 6\\ \end{array}$$

$$A_{ges}=|A_1|+|A_2|=6+6=12$$

Nun haben wir das richtige Ergebnis erhalten. Wir müssen also bei den Berechnungen der Flächen die Nullstellen der Funktion berücksichtigen.