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Vektorrechnen - Schnittpunkt von Geraden - Beispiel 1

Gegegeben sind die beiden Geraden g und h:

$$g:\vec x =\left( \begin{array}{c} 6 \\ 7.5 \\ 3\end{array} \right)+\lambda\cdot\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right),~ h:\vec x =\left( \begin{array}{c} 3 \\ 17 \\ -7\end{array} \right)+\mu\cdot\left( \begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 3 \end{array} \right)$$

Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden.

Lösung:

  1. Gleichsetzen der beiden Gleichungen ergibt:

    $$g=h$$

    $$\left( \begin{array}{c} 6 \\ 7.5 \\ 3\end{array} \right)+\lambda\cdot\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 3 \\ 17 \\ -7\end{array} \right)+\mu\cdot\left( \begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 3 \end{array} \right)$$

  2. Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit 2 Unbekannten: $$\begin{array}{lrl} I: & 6+\lambda\cdot 2 &=3+\mu\cdot 1\\ II: & 7,5+\lambda\cdot 3 &=17+\mu\cdot (-2)\\ III: & 3+\lambda\cdot 4 &=-7+\mu\cdot 3 \end{array}$$
  3. Umformen ergibt: $$\begin{array}{lrl} I: & 2\lambda-1\mu &=-3\\ II: & 3\lambda +2\mu &=9,5\\ III: & 4\lambda-3\mu &=-10 \end{array}$$
  4. Addition von \(2\cdot I+II\) ergibt: $$\begin{array}{rll} 7\lambda & =3,5 &|:7\\ \lambda &=0,5 & \end{array}$$
  5. Einsetzen in \(III\) ergibt: $$\begin{array}{rll} 4\cdot 0,5 -3\mu & =-10 &\\ 2 -3\mu & =-10 &|-2\\ -3\mu & =-12 &|:(-3)\\ \mu&=4& \end{array}$$
  6. Probe: Einsetzen ergibt: $$\left( \begin{array}{c} 6 \\ 7.5 \\ 3\end{array} \right)+0,5\cdot\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 3 \\ 17 \\ -7 \end{array} \right)+4\cdot\left( \begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 3 \end{array} \right)$$ $$\left( \begin{array}{c} 7 \\ 9 \\ 5\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 7 \\ 9 \\ 5 \end{array} \right)$$
  7. Die beiden Geraden besitzen also einen gemeinsamen Schnittpunkt.