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Vektorrechnen - Schnittpunkt von Geraden - Beispiel 2

Gegegeben sind die beiden Geraden g und h:

$$g:\vec x =\left( \begin{array}{c} 9.5 \\ 7 \\ 3\end{array} \right)+\lambda\cdot\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right),~ h:\vec x =\left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 2\end{array} \right)+\mu\cdot\left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$$

Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden.

Lösung:

  1. Gleichsetzen der beiden Gleichungen ergibt:

    $$g=h$$

    $$\left( \begin{array}{c} 9.5 \\ 7 \\ 3\end{array} \right)+\lambda\cdot\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 2 \end{array} \right)+\mu\cdot\left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$$

  2. Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit 2 Unbekannten: $$\begin{array}{lrl} I: & 9.5+\lambda\cdot 2 &=0+\mu\cdot 3\\ II: & 7+\lambda\cdot 3 &=4+\mu\cdot 2\\ III: & 3+\lambda\cdot 4 &=2+\mu\cdot 1 \end{array}$$
  3. Umformen ergibt: $$\begin{array}{lrl} I: & 2\lambda-3\mu &=-9.5\\ II: & 3\lambda -2\mu &=-3\\ III: & 4\lambda-1\mu &=-1 \end{array}$$
  4. Addition von \(2\cdot I-3\cdot II\) ergibt: $$\begin{array}{rll} -5\lambda & =-10 &|:(-5)\\ \lambda &=2 & \end{array}$$
  5. Einsetzen in \(III\) ergibt: $$\begin{array}{rll} 4\cdot 2 -1\mu & =-1 &\\ 8 -\mu & =-1 &|-8\\ -\mu & =-9 &|:(-1)\\ \mu&=9& \end{array}$$
  6. Probe: Einsetzen ergibt: $$\left( \begin{array}{c} 9.5 \\ 7 \\ 3\end{array} \right)+2\cdot\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right)\stackrel{?}{=}\left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 2 \end{array} \right)+9\cdot\left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$$ $$\left( \begin{array}{c} 13.5 \\ 13 \\11\end{array} \right)\neq\left( \begin{array}{c} 21 \\ 22 \\ 11 \end{array} \right)$$
  7. Es gibt also keinen Schnittpunkt.