Vektorrechnen - Schnittpunkt von Geraden - Beispiel 5
Gegegeben sind die beiden Geraden g und h:
$$g:\vec x =\left( \begin{array}{c} -1 \\ 4 \end{array} \right)+\lambda\cdot\color{red}{\left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \end{array} \right)},~ h:\vec x =\left( \begin{array}{c} 1.5 \\ 1.375 \end{array} \right)+\mu\cdot\color{blue}{\left( \begin{array}{c} 2 \\ -0.5 \end{array} \right)}$$
Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden.
Lösung:
- Zeichnen wir die Geraden in ein Koordinatensystem, erkennen wir sofort, dass die beiden Geraden parallel sind.
- Können wir die Parallelität auch ohne Zeichnen erkennen? Ja! Dazu betrachten wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden und erkennen, dass die beiden Richtungsvektoren sich nur um den Faktor 2 unterscheiden. Dies können wir in einer Rechnung nachweisen: $$\color{red}{\left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \end{array} \right)}=t\cdot\color{blue}{\left(\begin{array}{c} 2 \\ -0.5 \end{array} \right)}$$ Lösen des Gleichungssystems ergibt: $$\begin{array}{lrll} I& 4 & =t\cdot 2 & |:2\\ II& -1 & =t\cdot (-0.5)&|:(-0.5)\\ Also & t & =2\\ \end{array}$$
- Nun müssen wir überprüfen, ob die beiden Geraden parallel oder identisch sind. Sind die beiden Geraden identisch, so liegt z.B. der Startpunkt der Geraden \(f\) auf der Geraden \(g\), oder umgekehrt: $$\left( \begin{array}{c} -1 \\ 4 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 1,5 \\ 1,375 \end{array} \right)+\mu\cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -0,5 \end{array} \right)$$
- Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit einer Unbekannten: $$\begin{array}{rlll} I & -1 &= 1,5+\mu\cdot 2 &|-1,5\\ II & 4 &= 1,375+\mu\cdot (-0,5) & |-1,375 \\ \hline I & -2,5 &=2\mu &|:2\\ II & 2,625 &=-0,5\mu & |:(-0,5)\\ \hline I & \mu & =-1,25\\ II & \mu & =-5,25 \end{array}$$
- Also besitzen die beiden Geraden keinen gemeinsamen Schnittpunkt uns sind somit parallel.