Vektorrechnen - Schnittpunkt von Geraden - Beispiel 5

Gegegeben sind die beiden Geraden g und h:

$$g:\vec x =\left( \begin{array}{c} -3 \\ 4 \end{array} \right)+\lambda\cdot\color{red}{\left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \end{array} \right)},~ h:\vec x =\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)+\mu\cdot\color{blue}{\left( \begin{array}{c} 1 \\ -0.25 \end{array} \right)}$$

Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden.

Lösung:

1. Zeichnen wir die Geraden in ein Koordinatensystem, erkennen wir sofort, dass die beiden Geraden identisch sind.
2. Betrachten wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden, erkennen wir, dass die beiden Richtungsvektoren sich nur um den Faktor 4 unterscheiden. Dies können wir in einer Rechnung nachweisen: $$\color{red}{\left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \end{array} \right)}=t\cdot\color{blue}{\left(\begin{array}{c} 1 \\ -0.25 \end{array} \right)}$$ Lösen des Gleichungssystems ergibt: $$\begin{array}{lrll} I& 4 & =t\cdot 1 & \\ II& -1 & =t\cdot (-0.25)&|:(-0.25)\\ Also & t & =4\\ \end{array}$$
3. Nun müssen wir überprüfen, ob die beiden Geraden parallel oder identisch sind. Sind die beiden Geraden identisch, so liegt z.B. der Startpunkt der Geraden \(f\) auf der Geraden \(g\), oder umgekehrt: $$\left( \begin{array}{c} -3 \\ 4 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)+\mu\cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -0,25 \end{array} \right)$$
4. Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit einer Unbekannten: $$\begin{array}{rlll} I & -3 &= 5+\mu\cdot 1 &|-5\\ II & 4 &= 2+\mu\cdot (-0,25) & |-2 \\ \hline I & -8 &=\mu &\\ II & 2 &=-0,25\mu & |:(-0,25)\\ \hline I & \mu & =-8\\ II & \mu & =-8 \end{array}$$
5. Also liegt der Startpunkt von \(f\) auf der Geraden \(g\) und somit sind die beiden Geraden identisch.