Vektorrechnen - Punktprobe

Beispiel:

Gegeben ist die folgende Geradengleichung: $$\vec x=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right)+\lambda\cdot\left( \begin{array}{c} 6 \\ -4 \end{array} \right)$$

Prüfen Sie, ob die beiden Punkte \(P_1=(5|-1)\) und \(P_2=(7|-2.5) \) auf der Geraden liegen.

Lösung für \(P_1\):

1. Wir setzten den Punkt \(P_1\) als Ergebnisvektor ein und erhalten $$\left( \begin{array}{c} 5 \\ -1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right)+\lambda\cdot \left( \begin{array}{c} 6 \\ -4 \end{array} \right)$$
2. Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit einer Unbekannten: $$\begin{array}{lll} (I) & 5 &= 2+\lambda\cdot 6\\ (II) & -1 &= 1+\lambda\cdot (-4) \end{array}$$
3. Nun können wir die erste Gleichung lösen: $$\begin{array}{lll} 5 &= 2+\lambda\cdot 6 & |-2\\ 3 &= \lambda\cdot 6 & |:6\\ \lambda &=\frac{1}{2}=0,5 & \end{array}$$
4. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt: $$-1=1+0.5\cdot (-4)=1-2=-1$$
5. Nun überprüfen wir unsere Rechnung graphisch, indem wir den Punkt einzeichnen.

Lösung für \(P_2\):

1. Wir setzten den Punkt \(P_2\) als Ergebnisvektor ein und erhalten $$\left( \begin{array}{c} 7 \\ -2.5 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right)+\lambda\cdot \left( \begin{array}{c} 6 \\ -4 \end{array} \right)$$
2. Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit einer Unbekannten: $$\begin{array}{lll} (I) & 7 &= 2+\lambda\cdot 6\\ (II) & -2.5 &= 1+\lambda\cdot (-4) \end{array}$$
3. Nun können wir die erste Gleichung lösen: $$\begin{array}{lll} 7 &= 2+\lambda\cdot 6 & |-2\\ 5 &= \lambda\cdot 6 & |:6\\ \lambda &=\frac{5}{6} & =0,833 \end{array}$$
4. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt: $$-2,5\neq 2+\frac{5}{6}\cdot (-4)=2-\frac{10}{6}=\frac{1}{3}=0,33$$
5. Da \(-2,5\neq0,33\), liegt der Punkt P2 nicht auf der Geraden.
6. Nun überprüfen wir unsere Rechnung graphisch, indem wir den Punkt einzeichnen.