Vektorrechnen - Geradengleichung

Definition

Die Geradengleichung lautet $$\vec x=\vec p+\lambda\cdot\vec v$$

Hierbei ist $\vec p$ der zugehörige Orts- oder Verschiebungsvektor und $\vec v$ der Richtungsvektor der Geraden. Mit dem Faktor $\lambda$ ist es uns möglich die Punkte auf der Geraden zu bestimmen:

Ist $\lambda>0$, so können wir alle Punkte in Richtung des Vektors $\vec v$ bestimmen.
Ist $\lambda<0$, so können wir alle in Gegenrichtung des Vektors $\vec v$ bestimmen.

Beispiel:

Gegeben sind die beiden Punkte $P_1=(1|2)$ und $P_2=(7|-2) $.

Bestimmen Sie die Geradengleichung der Geraden, die durch die beiden Punkte veräuft!

Lösung:

Den Ortsvektor unserer Geraden erhalten wir mithilfe des ersten Punktes. $$\color{blue}{\vec p=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)}$$
Dann zeichnen wir den zweiten Punkt ein und bestimmen wir den Richtungsvektor $\vec v$: $$\color{green}{\vec v}=\color{red}{P_2}-\color{blue}{P_1}=\color{red}{\left( \begin{array}{c} 7 \\ -2 \end{array} \right)}-\color{blue}{\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)}=\color{green}{\left( \begin{array}{c} 6 \\ -4 \end{array} \right)}$$
Wir verlängern den Richtungsvektor und können die Geradengleichung folgendermaßen angeben: $$\vec x=\color{blue}{\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)}+\lambda\cdot\color{green}{\left( \begin{array}{c} 6 \\ -4 \end{array} \right)}$$