start | schüler | mathematik | QuadratischeFunktionen

Bestimmen der Schnittpunkte zweier Graphen - Beispiel 4

Beispiel:

Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Parabel f(x)=3(x-3)2-9 mit der Geraden g(x)= -(x-5)2+3!

Lösung:

\begin{align} f(x) &= g(x) &&\\ 3(x-3)^2-9 &= -(x-5)^2+3 &&\\ 3(x^2-6x+9)-9 &= -(x^2-10x+25)+3 &&\\ 3x^2-18x+27-9 &= -x^2+10x-25+3 &&\\ 3x^2-18x+18 &= -x^2+10x-22 &|&+x^2\\ 4x^2-18x+18 &= 10x-22 &|&-10x\\ 4x^2-28x+18 &= -22 &|&+22\\ 4x^2-28x+40 &= 0 &|&:4\\ x^2-7x+10 &= 0 &&\\ \end{align}

Nun können wir die Gleichung mit Hilfe der pq-Formel lösen.

$$x^2+px+q= 0$$ $$x_{1/2}=-\frac{p}{2}±\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\\$$

Mit p=-7 und q = +10 folgt

\begin{align} x_1&=-\frac{-7}{2}+\sqrt{(\frac{-7}{2})^2-10)}\\ &=\frac{7}{2}+\sqrt{\frac{49}{4}-\frac{40}{4}}\\ &=\frac{7}{2}+\sqrt{\frac{9}{4}}\\ &=\frac{7}{2}+\frac{3}{2}\\ x_1&=\frac{10}{2}=5\\ \end{align}

Einsetzen in die Funktionsvorschrift f

$$f(5)=3\cdot(5-3)^2-9=3\cdot 2^2-9=3\cdot4-9=12-9=3$$

...liefert den ersten Schnittpunkt: S1(5|3)

Den zweiten Schnittpunkt erhalten wir mit

$$x_2=\frac{7}{2}-\frac{3}{2}=\frac{4}{2}=2$$

und mit

$$f(2)=3\cdot(2-3)^2-9=3\cdot (-1)^2-9=3\cdot1-9=3-9=-6$$

Der zweite Schnittpunkt befindet sich in Punkt S2(2|-6)

Überprüfen der Lösung: