Bestimmen der Schnittpunkte zweier Graphen - Beispiel 2
Beispiel:
Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Parabel f(x)=(x-2)2+1 mit der Geraden g(x)=x+1!
Lösung:
\begin{align} f(x) &= g(x)&&\\ (x-2)^2+1 &= 2x-4 &&\\ x^2-4x+4+1 &= 2x-4&&\\ x^2-4x+5 &= 2x-4 &|&-2x\\ x^2-6x+5 &= -4 &|&+4\\ x^2-6x+9 &= 0&&\\ \end{align}Nun können wir die Gleichung mit Hilfe der pq-Formel lösen.
$$x^2+px+q= 0$$ $$x_{1/2}=-\frac{p}{2}±\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\\$$Mit p=-6 und q = +9 folgt
\begin{align}
x_1&=-\frac{-6}{2}+\sqrt{(\frac{-6}{2})^2-9)}\\
x_1&=\frac{6}{2}+\sqrt{(-3)^2-9}\\
x_1&=3+\sqrt{0}\\
x_1&=3
\end{align}
Einsetzen in die Funktionsvorschrift g
$$g(3)=2\cdot3-4=6-4=2$$...liefert den ersten Schnittpunkt: S1(3|2)
Den zweiten Schnittpunkt erhalten wir mit
$$x_2=3-\sqrt{0}=3$$Da x1=x2 gilt, gibt es nur einen Schnittpunkt.
Überprüfen der Lösung:
- Graphen zeichnen
- Punkt überprüfen S1(3|2)
