Bestimmen der Schnittpunkte zweier Graphen - Beispiel 1
Beispiel:
Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Parabel f(x)=(x-2)2+1 mit der Geraden g(x)=x+1!
Lösung:
\begin{align} f(x) &= g(x)&&\\ (x-2)^2+1 &= x+1 &&\\ x^2-4x+4+1 &= x+1 &&\\ x^2-4x+5 &= x+1 &|&-x\\ x^2-5x+5 &= 1 &|&-1\\ x^2-5x+4 &= 0&&\\ \end{align}Nun können wir die Gleichung mit Hilfe der pq-Formel lösen.
$$x^2+px+q= 0$$ $$x_{1/2}=-\frac{p}{2}±\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\\$$Mit p=-5 und q = +4 folgt
\begin{align}
x_1&=-\frac{-5}{2}+\sqrt{(\frac{-5}{2})^2-4)}\\
x_1&=\frac{5}{2}+\sqrt{\frac{25}{4}-\frac{16}{4}}\\
x_1&=\frac{5}{2}+\sqrt{\frac{9}{4}}\\
x_1&=\frac{5}{2}+\frac{3}{2}=\frac{8}{2}=4
\end{align}
Einsetzen in die Funktionsvorschrift g
$$g(4)=4+1=5$$...liefert den ersten Schnittpunkt: S1(4|5)
Den zweiten Schnittpunkt erhalten wir mit
$$x_2=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=\frac{2}{2}=1$$und mit
$$g(1)=1+1=2$$Der zweite Schnittpunkt befindet sich in Punkt S2(1|2)
Überprüfen der Lösung:
- Graphen zeichnen
- Punkte überprüfen S1(4|5), S2(1|2)
