Bestimmen der Funktionsvorschrift - Beispiel
Beispiel:
Von einer quadratischen Funktion sind die Punkte P1(1|2), P2(4|5) und P3(6|17) bekannt. Bestimmen Sie die zugehörige Funktionsvorschrift!
Lösung
Die allgemeine Form lautet:
$$f(x)=a_2x^2+a_1x+a_0$$Mit a2, a1 und a0 haben wir eine Gleichung mit drei Unbekannten. Um die Koeffizienten zu bestimmen, benötigen wir ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen.
Einsetzen der Punkte ergibt:
\begin{align} P_1(1|2): &I &2 &= a_2\cdot1^2 +a_1·1 +a_0\\ P_2(4|5): &II &5 &= a_2\cdot4^2 +a_1·4 +a_0\\ P_3(6|17): &III &17 &= a_2\cdot6^2 +a_1·6 +a_0 \end{align}Ausrechnen und Umsortieren ergibt folgendes Gleichungssystem:
\begin{align} &I &a_0 +a_1 +a_2 &= &2\\ &II &a_0 +4a_1 +16a_2 &= &5\\ &III &a_0 +6a_1 +36a_2 &= &17 \end{align}Dieses System kann nun mit verschiedenen Verfahren gelöst werden. (Additions-, Gleichsetzungs- Einsetzungsverfahren, Gauß-Algorithmus usw.)
Geogebra besitzt ein Computeralgebrasystem (CAS) und liefert nach Eingabe der folgenden Zeile
L�sungen[{a0+a1+a2=2,a0+4a1+16a2=5,a0+6a1+36a2=17},{a2,a1,a0}]
Das Ergebnis
(1 -4 5)
Also
$$a_2=1,~a_1=-4,~a_0=5$$Somit lautet die gesuchte Funktionsvorschrift
$$f(x)= x^2 -4x+5$$Überprüfen der Lösung
Graph zeichnen und Punkte P1(1|2), P2(4|5) und P3(6|17) einzeichnen
