Lösen von linearen Gleichungssystemen mit drei Unbekannten - Beispiel 2
Lösen Sie das folgende Gleichungssystem, indem Sie die Koeffizienten x, y und z bestimmen
\[\begin{array}{rlll}
7x &+6y &-13z &=37\\
-8x &-11y &+5z &=-63\\
2x &+4y &+3z &=22
\end{array}\]
Lösung:
Gleichungssystem nummerieren:
\[\begin{array}{rrlll}
I&7x &+6y &-13z &=37\\
II&-8x &-11y &+5z &=-63\\
III&2x &+4y &+3z &=22
\end{array}\]
Wir multiplizieren wir die 1. Gleichung mit dem Faktor 8 und die 1. Gleichung mit Faktor 7. Anschließend addieren wir diese beiden Gleichungen.
\[\begin{array}{lrrlll} &8\cdot I &56x &+48y &-104z &=-296\\ +&7\cdot II &-56x &-77y &+35z &=441\\ \hline &\color{blue}{I'} &&\color{blue}{-29y} &\color{blue}{-69z} &\color{blue}{=145} \end{array}\]Wir multiplizieren die 3. Gleichung mit dem Faktor 4 und addieren diese mit der 2. Gleichung.
\[\begin{array}{lrrlll} &4\cdot III &8x &+16y &+12z &=88\\ +&II &-8x &-11y &+5z &=-63\\ \hline &\color{red}{II'} &&\color{red}{5y} &\color{red}{+17z} &\color{red}{=25} \end{array}\]Aus den Ergebnissen erhalten wir ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten.
\[\begin{array}{rrll} \color{blue}{I'} &\color{blue}{-29y} &\color{blue}{-69z} &\color{blue}{=145}\\ \color{red}{II'} &\color{red}{5y} &\color{red}{+17z} &\color{red}{=25} \end{array}\]Wir multiplizieren die Gleichung I' mit 5 und die Gleichung II' mit 29:
\[\begin{array}{lrrll} &5\cdot I' &-145y &-345z &=725\\ +&29\cdot II' &145y &+493y &=725\\ \hline &I'' &&148z &=0 \end{array}\]Daraus ergibt sich:
\[\begin{array}{rll} 148z &=0 &|:148\\ z &=0 \end{array}\]Nun können wir das Ergebnis z.B. in Gleichung I' einsetzen und erhalten:
\[\begin{array}{rlll} -29y &-69\cdot 0 &=145&\\ -29y & &=145 &|:(-29)\\ y & &=5 \end{array}\]Eingesetzt in Gleichung I ergibt sich für x
\[\begin{array}{rlll} 7x &+6\cdot 5 &-13\cdot 0 &=37&\\ 7x &+30 & &=37 &|-30\\ 7x & & &=7 &|:7\\ x&& &=1& \end{array}\]Probe:
Einsetzen in II:
\[\begin{array}{rlll} -8\cdot 1 &-11\cdot 5 &+5\cdot 0 &=-63\\ -8 &-55 & &=-63\\ &&-63 &=-63 \end{array}\]Einsetzen in III:
\[\begin{array}{rlll} 2\cdot 1 &4\cdot 5 &3\cdot 0 &=22\\ 2 &+20 & &=22\\ &&22 &=22 \end{array}\]