Lösen von linearen Gleichungssystemen mit drei Unbekannten - Beispiel
Lösen Sie das folgende Gleichungssystem, indem Sie die Koeffizienten x, y und z bestimmen
Lösung:
Gleichungssystem nummerieren:
Wir reduzieren das LGS um eine Variable (z.B. z). Dazu multiplizieren wir die 1. Gleichung mit dem Faktor 2 und addieren diese mit der 2. Gleichung.
\[\begin{array}{lrrlll} &2\cdot I &6x &+10y &-4z &=-8\\ +&II &-2x &-6y &+4z &=16\\ \hline &\color{blue}{I'} &\color{blue}{4x} &\color{blue}{+4y} &&\color{blue}{=8} \end{array}\]Desweiteren multiplizieren wir die 1. Gleichung mit dem Faktor 3 und anschließend wird 3. Gleichung subtrahiert.
\[\begin{array}{lrrlll} &3\cdot I &9x &+15y &-6z &=-12\\ - &III &5x &-2y &-6z &=6\\ \hline &\color{red}{II'} &\color{red}{4x} &\color{red}{+17y} &&\color{red}{=-18} \end{array}\]Aus den Ergebnissen erhalten wir ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten.
\[\begin{array}{rrll} \color{blue}{I'} &\color{blue}{4x} &\color{blue}{+4y} &\color{blue}{=8}\\ \color{red}{II'} &\color{red}{4x} &\color{red}{+17y} &\color{red}{=-18} \end{array}\]Dies können wir nun nach dem gleichen Schema wie oben auflösen. Dazu subtrahieren wir die 2. Gleichung von der ersten:
\[\begin{array}{lrrll} &I' &4x &+4y &=8\\ -&II' &4x &+17y &=-18\\ \hline &I'' &&-13y &=26 \end{array}\]Daraus ergibt sich:
\[\begin{array}{rll} -13y &=26 &|:(-13)\\ y &=-2 \end{array}\]Nun können wir das Ergebnis z.B. in Gleichung I' einsetzen und erhalten:
\[\begin{array}{rlll} 4x &+4\cdot(-2) &=8&\\ 4x &-8 &=8 &|+8\\ 4x & &=16 &|:4\\ x &&=4 \end{array}\]Eingesetzt in Gleichung I ergibt sich für z
\[\begin{array}{rlll} 3\cdot 4 &+5\cdot (-2) &-2z &=-4&\\ 12 &-10 &-2z &=-4 &\\ 2 & &-2z &=-4 &|-2\\ &&-2z &=-6 &|:(-2)\\ &&z &=3& \end{array}\]Probe:
Einsetzen in II:
\[\begin{array}{rlll} -2\cdot 4 &-6\cdot (-2) &+4\cdot 3 &=16\\ -8 &+12 &+12 &=16\\ &&16 &=16 \end{array}\]Einsetzen in III:
\[\begin{array}{rlll} 5\cdot 4 &-2\cdot (-2) &-6\cdot 3 &=6\\ 20 &+4 &-18 &=6\\ &&6 &=6 \end{array}\]