Komplexe Zahlen - Beispiele zur Anwendung der Rechenregeln
Beispiel 1 (Addition)
Es sind die beiden komplexen Zahlen z1=3+i4 und z2=12+i5 gegeben. Berechnen Sie die Summe z3=z1+z2
Lösung:
$$\begin{array}{lll} z_3 &=z_1 &+z_2\\ &=3+i4 &+12+i5\\ &=3+12 &+i4+i5\\ z_3 &=15 &+i9 \end{array}$$
Beispiel 2 (Subtraktion)
Es sind die beiden komplexen Zahlen z1=3+i4 und z2=12+i5 gegeben. Berechnen Sie die Differenz z3=z2-z1
Lösung:
$$\begin{array}{lll} z_3 &=z_2 &-z_1\\ &=12+i5 &-(3+i4)\\ &=12+i5 &-3-i4\\ &=12-3 &+i5-i4\\ z_3 &=9 &+i1 \end{array}$$
Beispiel 3 (Multiplikation)
Es sind die beiden komplexen Zahlen z1=5 ej53,1° und z2=13 ej22,6° gegeben. Berechnen Sie das Produkt z3=z1·z2
Lösung:
$$\begin{array}{lll} z_3 &=z_1 &-z_2\\ &=5~e^{j53,1°} &\cdot 13~e^{j22,6°}\\ &=5\cdot 13 &\cdot e^{j53,1°}\cdot e^{j22,6°} \\ &=65 &e^{j53,1°+j22,6°}\\ z_3 &=65 &e^{j77,7°} \end{array}$$
Beispiel 4 (Division)
Es sind die beiden komplexen Zahlen z1=5 ej53,1° und z2=13 ej22,6° gegeben. Berechnen Sie den Quotient z3=z2:z1
Lösung:
$$\begin{array}{lll} z_3 &=\frac{z_2}{z_1}&\\ &=\frac{13~e^{j22,6°}}{5~e^{j53,1°}}&\\ &=\frac{13}{5}\cdot\frac{e^{j22,6°}}{e^{j53,1°}}&\\ &=2,6 &e^{j22,6°-j53,1°}\\ z_3 &=2,6 &e^{-j30,5°} \end{array}$$
Beispiel 5 (K-->E)
Es ist die kartesiche Form der komplexen Zahl z1=3+i4 bekannt. Stellen Sie z1 in der Exponetialform dar!
Lösung:
$$z_1=3+i4$$ $$r=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$ $$\varphi=tan^{-1}(\frac{4}{3})=53,1°$$ $$z_1=5~e^{j53,1°}$$
Beispiel 6 (E-->K)
Es ist die Exponetialform der komplexen Zahl z113 ej67,4° bekannt. Stellen Sie z1 in der Kartesischen Form dar!
Lösung:
$$z_1=13 e^{j22,6°}$$ $$a=13\cdot cos(22,6°)=12$$ $$b=13\cdot sin(22,6°)=5$$ $$z_1=12+i5$$