1. Ableitungen

\[\begin{array}{rl} f'(x)&=3x^2-9\\ f''(x)&=6x\\ f'''(x)&=6 \end{array}\]

2.Symmetrie des Graphen

Die Funktionsvorschrift f(x) besitzt ausschließlich ungerade Exponenten. Das bedeutet der Graph ist symmetrisch zum Ursprung

3. Nullstellen

\[\begin{array}{rll} f(x) &=0&\\ 0 &=x^3-9x &|x \text{ ausklammern}\\ 0 &=x(x^2-9) &|\text{3. binomische Formel} \\ 0 &=x(x+3)(x-3)& \end{array}\] Also besitzt die Gleichung f(x)=0 folgende Lösungen: $$x_1=0,~ x_2=-3, x_3=3$$ $$\color{purple}{\text{Nullstellen: } N_1(-3|0),~N_2(0|0),~N_3(3|0)}$$

4. Extremstellen

\[\begin{array}{rl} f'(x) &= 0\\ 3x^2-9 &=0\\ x^2 &=3 \end{array}\] Also besitzt die Gleichung f'(x)=0 folgende Lösungen: $$x_4=-\sqrt{3}, x_5=\sqrt{3}$$ Für $$x_4=-\sqrt{3}$$ ergibt sich $$f'(-\sqrt{3})=0,~f''(-\sqrt{3})=-10,4<0$$ ein lokales Maximum. Für $$x_5=\sqrt{3}$$ ergibt sich $$f'(-\sqrt{3})=0,~f''(-\sqrt{3})=10,4>0$$ ein lokales Minimum. $$\color{red}{\text{Extrempunkte: } H(-\sqrt{3}|10,4),~T(\sqrt{3}|-10,4)}$$

5. Wendestellen

\[\begin{array}{rl} f''(x) &= 0\\ 6x &=0\\ x&=0 \end{array}\] Also besitzt die Gleichung f''(x)=0 folgende Lösung: $$x_6=0$$ Es ergibt sich $$f'''(0)=6\neq 0$$ eine Wendestelle. $$\color{blue}{\text{Wendestelle: } W(0|0)}$$