Potenzregel

$$f(x)=ax^n$$ $$f'(x)=a\cdot nx^{n-1}$$

Beispiel 1

$$f_1(x)=25x^3$$ $$f_1'(x)=25\cdot 3 x^{3-1}=75x^2$$

Beispiel 2

$$f_2(x)=\frac{1}{x^2}=x^{-2}$$ $$f_2'(x)=-2x^{-2-1}=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3}$$

Produktregel

$$f(x)=g(x)\cdot h(x)$$ $$f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)$$

Beispiel 3

$$f_3(x)=(5x^2)\cdot (7x^3)$$ $$f_3'(x)=(10x)\cdot (7x^3)+(5x^2)\cdot (21x^2)=70x^4+105x^4=175x^4$$

Quotientenregel

$$f(x)=g(x)\cdot h(x)$$ $$f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{h(x)^2}$$

Beispiel 4

$$f_4(x)=\frac{3x^2}{5x^3}$$ $$f_4'(x)=\frac{(6x)\cdot (5x^3)-(3x^2)\cdot (15x^2)}{(5x^3)^2}=\frac{30x^4-45x^4}{25x^6}=\frac{-15x^4}{25x^6}=\frac{-0,6}{x^2}$$

Kettenregel

$$f(x)=g(h(x))$$ $$f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$$

Beispiel 5

$$f_5(x)=(\color{red}{2x^2+3x})^4$$ $$\color{red}{h(x)=2x^2+3x}$$ $$g(x)=\color{red}{h}^4$$ $$\color{green}{h'(x)=4x+3}$$ $$g'(\color{red}{h})=4\color{red}{h}^3=4(\color{red}{2x^2+3x})^4$$ $$f_5'(x)=4(\color{red}{2x^2+3x})^4\cdot \color{green}{(4x+3)}$$